參見：高斯－若爾當消元法、線性方程組、幾何線性映射

---

矩陣是指縱橫排列的數據表格。

矩陣的規格就是矩陣的大小，用矩陣的列和行表示。

你可以用以下兩個計算器進行矩陣的求解。

• 矩陣的加法、減法及乘法運算
• 反矩陣、行列式及伴随矩陣運算

可參見高斯－若爾當消元法求反矩陣。

---

矩陣運算

矩陣加法與減法

如果矩陣$A$和矩陣$B$的大小一樣，那麼

• 矩陣$A$與矩陣$B$的和（$A+B$）就是將矩陣$A$的元素分別與矩陣$B$中相對應的元素相加。
• 矩陣$A$與矩陣$B$的差（$A-B$）就是將矩陣$A$的元素分別與矩陣$B$中相對應的元素相減。

假設 $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{…}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{…}& a_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{…}& a_{mn}\end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \text{…}& a_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \text{…}& a_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ b_{m1}& b_{m2}& \text{…}& b_{mn}\end{array}\right)$

那麼 $A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \text{…}& a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \text{…}& a_{2n}+b_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \text{…}& a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$,

$A-B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}& \text{…}& a_{1n}-b_{1n}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}& \text{…}& a_{2n}-b_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ a_{m1}-b_{m1}& a_{m2}-b_{m2}& \text{…}& a_{mn}-b_{mn}\end{array}\right)$

請注意，如果矩陣的大小不同，那麼就不能進行加法或減法運算。

例：

如果 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)$ ， $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$

那麼就有

$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

$A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -5\end{array}\right)$

---

矩陣的乘法

若$A$是$m\times r$矩陣，$B$是$r\times n$矩陣，那麼$A$、$B$的積（$A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$）就是一個$m\times n$的矩陣，其$i$列$j$行的元素就是$A$中$i$列的元素與$B$中$j$行相對應的元素的乘積之和。

$A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$中$i$列$j$行的元素記作${\left(AB\right)}_{ij}$，表示為： $${\left(AB\right)}_{ij}=a_{i1}<!--\; InvisibleTimes\; -->b_{1j}+a_{i2}<!--\; InvisibleTimes\; -->b_{2j}+\text{…}+a_{ir}<!--\; InvisibleTimes\; -->b_{rj}$$

請注意，只有當矩陣$A$的行數與$B$的列數相等的情況下才能進行乘法運算。

例如：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}\right)$ ， $B=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 1\\ -1& 2& 3& 0\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)$

$A<!--\; InvisibleTimes\; -->B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}\right)<!--\; InvisibleTimes\; -->\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 1\\ -1& 2& 3& 0\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 7& 2\\ 3& -10& -7& 2\end{array}\right)$

• $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$第一列第一行的元素就是$A$的第一列的元素與$B$的第一行的元素的乘積之和。那麼，
  ${\left(AB\right)}_{11}=\left(1\right)\left(3\right)+\left(2\right)\left(-1\right)+\left(1\right)\left(0\right)=1$
• $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$第一列第二行的元素就是$A$的第一列的元素與$B$的第二行的元素的乘積之和。那麼，
  ${\left(AB\right)}_{12}=\left(1\right)\left(1\right)+\left(2\right)\left(2\right)+\left(1\right)\left(-2\right)=3$
• $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$第二列第一行的元素就是$A$的第二列的元素與$B$的第一行的元素的乘積之和。那麼，
  ${\left(AB\right)}_{21}=\left(0\right)\left(3\right)+\left(-3\right)\left(-1\right)+\left(2\right)\left(0\right)=3$
• 以此類推

---

反矩陣

方陣$A$的反矩陣是$A^{-1}$，其 $A{A}^{-1}=I$

例如：

如果 $A=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5& -4\end{array}\right)$，那麼 $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -2.5& -1.5\end{array}\right)$

因為 $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -2.5& -1.5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

方陣$A$的反矩陣可用下面的公式表示：

$$A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\left(A\right)}{\det \left(A\right)}$$

若方陣的行列式$\det \left(A\right)=0$，則該方陣無反矩陣。該方陣也被稱作奇異方陣。

另一種求反矩陣的方法就是在矩阵的右邊加上單位矩阵，然後用高斯－若爾當消元法將矩陣簡化成它的行簡階梯性形式。

Jimmy Sie（著）
Amanda Huang（譯）

參見：高斯－若爾當消元法、線性方程組、幾何線性映射