參見:矩陣高斯-若爾當消元法幾何線性映射


你可使用下面的求解器對二元一次方程組、三元一次方程組⋯⋯十元一次方程組進行求值:

請見如下線性方程祖求解方法

請選擇方程組的維數:


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線性方程祖求解方法

求解線性方程祖至少有下面的五種方法:

例如,現在我們來對下面這個三元一次方程組進行求解:

{ x + y z = 1 (1) 8x + 3y 6z = 1 (2) 4x y + 3z = 1 (3)
消元法

顧名思義,這種方法就是盡量消去方程組中的未知數,使未知數的個數減少到一個。

首先,觀察這個方程組,找出其中某一未知數係數的值相等的兩個方程式。我們來看看等式 (1) (3) ,這兩個方程式中 y 的係數分別為11,把两个式子相加就得到等式 (4)

x + y z = 1 (1) 4x y + 3z = 1 (3) ------------------------ + 3x + 0 + 2z = 2 (4)

請注意,現在 (4) 只有 xz兩個未知數,只需要再找一個含有同樣未知數的方程式即可。因此我們嘗試就把 (1) (2) y消掉。以上兩個式子y的係數分別為13,為了消掉y,我们把 (1) 乘以3

x + y z = 1 (1) × 3 8x + 3y 6z = 1 (2)
3x + 3y 3z = 3 (1) 8x + 3y 6z = 1 (2) ------------------------ 5x + 0y + 3z = 2 (5)

通過 (4) (5) 可以消掉z

3x + 2z = 2 (4) × 3 5x + 3z = 2 (5) × 2
9x + 6z = 6 (4) 10x + 6z = 4 (5) ------------------------ +01x + 0z = 2 (6)

得到x=2後將它代入 (4) 中,求出z的值:

3(2) + 2z = 2 (4) 6 + 2z = 2 2z = 2+6 2z = 8 z = 8 ÷ 2 z = 4

最後將z的值代入 (1) 求出y

2+y4 =1 (1) y =12+4 y =3

因此,該方程組的解是x=2y=3z=4


代入法

首先,將方程式 (1) 進行移項變形,使得方程式的左邊只有一個未知數。

x=1y+z (1)

現在將它代入 (2) 中。

8 (1y+z) +3y 6z =1 (2) 8 8y +8z +3y 6z =1 5y +2z =18 5y +2z =7 (4)

同樣地,把x代入 (3)

4 (1y+z) y +3z =1 (3) 4 +4y 4z y +3z =1 3y z =1+4 3y z =5 (5)

再將 (5) 變形,使得方程式左邊只有一個未知數

z=3y5 (5)

接下來,我們將以上z的代數式代入 (4)

5y +2 (3y5) =7 (4) 5y +6y10 =7 y =7+10 y =3

既然已經求出y值,我們可以將它代入 (5) 解出z

z =3 (3) 5 (5) z =9 5 z =4

最後,我們將yz的值代入 (1) 求出x

x =13+4 (1) x =2

因此,方程組的解為:x=2y=3z=4



圖象法

圖象法就是把各方程式用圖象或平面圖表示出來,其交點也就是方程式的解。

先以下面這個簡單的二元一次方程組為例

{ x + y =3 2x y =3

畫出這兩個方程式的圖象。

兩個方程式的圖象

如圖所示,兩條直線的交點坐標是(0,3),即該線性方程組的解為x=0y=3

對於三元一次線性方程組,它的解也就是代表各方程式的三個平面的交點。


逆矩陣法

運用矩陣公式AB=C可將線性方程組 (1) (2) (3) 可以表示成如下形式。

AB =C 1 2 1 8 3 6 4 1 3 x y z = 1 1 1

方程組的解就是矩陣B。 為了使B單獨出現在等式的一邊,我們將等式兩邊同時乘以矩陣A 的逆矩陣。

A1 AB = A1 C B = A1 C

在求B之前我們需要先找到A1。(參見矩陣查看如何找出逆矩陣)

A1 = 3 2 3 0 1 2 4 3 5 B = 3 2 3 0 1 2 4 3 5 1 1 1 B = 2 3 4

因此,方程組的解為: x=2y=3z=4

此種方法適用于n元線性方程組的求解。以上所提供的求解器就是使用逆矩陣法進行求解。


高斯消元法/高斯-若爾當消元法

運用增廣矩陣公式A可將線性方程組 (1) (2) (3) 可以表示成如下形式。

A= 1 1 1 | 1 8 3 6 | 1 4 1 3 | 1

通過進行一系列的行變換(高斯消元法),我們可以將以上矩陣簡化成它的階梯形矩陣。

A= 1 0.375 0.75 | 0.125 0 1 0.4 | 1.4 0 0 1 | 4

接下來我們可以代入求出所有未知數的值,或者也可以繼續使用高斯-若爾當消元法進行行變換,直到該矩陣成為行簡階梯性形式。

A= 1 0 0 | 2 0 1 0 | 3 0 0 1 | 4

通過運用高斯-若爾當消元法,我們從最後一行中得到該方程組的解為x=2y=3z=4

請參見高斯-若爾當消元法查看該題列變換的詳細步驟。

Jimmy Sie(著)
Amanda Huang(譯)

參見:矩陣高斯-若爾當消元法幾何線性映射