參見：數、排列與組合

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貝氏定理托馬斯·貝葉斯命名，用以描述事件$A$與事件$$的 條件概率之間的關係。

$$\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)=\frac{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$$

或者

$$\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)=\frac{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->\bar{A})<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(\bar{A})}$$

貝氏定理的運用

一個國家有2%的人患上某種疾病。經由醫學檢測，97%的患者可被正確檢測出陽性結果，然而，也有9%的非患者的檢測出錯誤的結果。任意從該國家挑選一個人進行檢測，且檢測結果呈陽性。那麼，這個人真正患病的概率到底是多少呢？

直覺上我們會以為他患病的可能性極高，因為97%的陽性測試結果是正確的。然而，我們現在要從數學的角度進行分析：

• $B$表示事件“檢測結果呈陽性”
• $\bar{B}$表示事件“檢測結果呈陰性”
• $A$表示事件“疾病患者”
• $\bar{A}$表示事件“非疾病患者”

已知以下概率

• $\mathbb{P}(A)=2\%$
• $\mathbb{P}(\bar{A})=98\%$
• $\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)=97\%$
• $\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->\bar{A})=9\%$

現在運用條件概率的公式將有關事件的概率寫在下面的表格中：

現在假設一個人的檢測結果為陽性，那麼他真正患病的概率是多少呢？換言之，我們要求出$B$條件下$A$的概率，即$\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)$。

從上面的表格中我們可以看出$\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)$就是真陽性概率除以任何情況下測出陽性結果的概率，也即

$$\frac{1.94\%}{1.94\%+8.82\%}=18.03\%$$

使用貝氏定理公式也能得到同樣的結果：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)& =\frac{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->\bar{A})<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(\bar{A})}\\ & =\frac{97\%\times 2\%}{(97\%\times 2\%)+(9\%\times 98\%)}\\ & =\frac{1.94\%}{1.94\%+8.82\%}\\ & =\frac{1.94\%}{10.76\%}\\ & =18.03\%\end{array}$$

結果似乎有點出乎意料。檢測結果呈陽性，但實際上他真正患病的概率並沒有我們想象中那麼高，只有18%左右。

為什麼會這樣呢？

通常在預測結果的時候，我們首先就會忘記患病人數佔總人口的比例非常小這一前提（患病人數只有2%），因此，即使檢測結果再精準，檢測結果為陽性的人真正患病的可能性也不見得極高。

我們可以這麼看，假設那個國家只有1000人，有20人患病（2%），這20人當中有19人檢測結果為陽性（97%的真陽性）。另外沒有患病的980人當中，大約88人也會拿到陽性檢測結果（9%假陽性）。

因此可把這1000人分成以下幾種情況：

• 19人檢測結果為真陽性
• 1人檢測結果為假陰性
• 88人檢測結果為假陽性
• 892人檢測結果為真陰性

從上面我們可以得出，大約（88+19）= 107人檢測結果為陽性（不論是否真的患病）。這107人當中又有多少人真的患病呢？只有19人，也即18%。

Jimmy Sie（著）
Amanda Huang（譯）

參見：數、排列與組合