Lihat juga: Eliminasi Gauss-Jordan, Sistem Persamaan Linier, Transformasi Linier Geometris

---

Matriks adalah sebuah kumpulan angka atau variabel yang diatur dalam baris dan kolom sehingga membentuk tabel persegipanjang.

Ordo atau dimensi sebuah matriks adalah ukuran matriks itu, yaitu banyaknya baris dan kolom; biasanya ditulis sebagai baris x kolom.

Untuk melakukan berbagai operasi matriks, silakan menggunakan kalkulator di bawah ini..

• Kalkulator untuk perkalian, penjumlahan, dan pengurangan matriks
• Kalkulator untuk mencari matriks balikan (invers), determinan, dan adjoin dari sebuah matriks

Untuk mencari invers dari sebuah matriks, anda dapat juga menggunakan operasi Eliminasi Gauss-Jordan.

Baca penjelasan tentang operasi matriks di bawah.

---

Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Jika matriks $A$ dan $B$ mempunyai ordo (dimensi) yang sama, maka

• hasil penjumlahan $A+B$ adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cara menjumlahkan setiap elemen $A$ dengan setiap elemen $B$ yang seletak.
• hasil pengurangan $A-B$ adalah sebuah matriks yang diperolah dengan cara mengurangkan setiap elemen $B$ dari setiap elemen $A$ yang seletak.

Jika $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \text{…}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \text{…}& a_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ a_{m1}& a_{m2}& \text{…}& a_{mn}\end{array}\right)$ dan $B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \text{…}& a_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \text{…}& a_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ b_{m1}& b_{m2}& \text{…}& b_{mn}\end{array}\right)$

$A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \text{…}& a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \text{…}& a_{2n}+b_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \text{…}& a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$

$A-B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-b_{11}& a_{12}-b_{12}& \text{…}& a_{1n}-b_{1n}\\ a_{21}-b_{21}& a_{22}-b_{22}& \text{…}& a_{2n}-b_{2n}\\ \text{⋮}& \text{⋮}& \text{⋱}& \text{⋮}\\ a_{m1}-b_{m1}& a_{m2}-b_{m2}& \text{…}& a_{mn}-b_{mn}\end{array}\right)$

Dua matriks yang mempunyai ordo (dimensi) yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh

Jika $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)$ dan $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$

$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

$A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -5\end{array}\right)$

---

Perkalian Matriks

Jika $A$ adalah sebuah matriks berordo $m\times r$ dan $B$ adalah sebuah matriks berordo $r\times n$, maka hasil perkalian $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$ adalah sebuah matriks yang berordo $m\times n$ dimana setiap elemen dari baris $i$ dan kolom $j$ adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen baris $i$ dari $A$ dan kolom $j$ dari $B$.

Elemen ${\left(AB\right)}_{ij}$ di baris $i$ dan kolom $j$ dari $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$ adalah

$${\left(AB\right)}_{ij}=a_{i1}<!--\; InvisibleTimes\; -->b_{1j}+a_{i2}<!--\; InvisibleTimes\; -->b_{2j}+\text{…}+a_{ir}<!--\; InvisibleTimes\; -->b_{rj}$$

Matriks $A$ dan $B$ hanya dapat dikalikan jika banyaknya kolom dari $A$ sama dengan banyaknya baris dari $B$.

Contoh:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}\right)$ dan $B=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 1\\ -1& 2& 3& 0\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)$

$A<!--\; InvisibleTimes\; -->B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -3& 2\end{array}\right)<!--\; InvisibleTimes\; -->\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 1\\ -1& 2& 3& 0\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 7& 2\\ 3& -10& -7& 2\end{array}\right)$

• Elemen baris 1 kolom 1 dari $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$ adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari $A$ dan elemen-elemen kolom 1 dari $B$, yaitu:
  ${\left(AB\right)}_{11}=\left(1\right)\left(3\right)+\left(2\right)\left(-1\right)+\left(1\right)\left(0\right)=1$
• Elemen baris 1 kolom 2 dari $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$ adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 1 dari $A$ dan elemen-elemen kolom 2 dari $B$, yaitu:
  ${\left(AB\right)}_{12}=\left(1\right)\left(1\right)+\left(2\right)\left(2\right)+\left(1\right)\left(-2\right)=3$
• Elemen baris 2 kolom 1 dari $A<!--\; InvisibleTimes\; -->B$ adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen di baris 2 dari $A$ dan elemen-elemen kolom 1 dari $B$, yaitu:
  ${\left(AB\right)}_{21}=\left(0\right)\left(3\right)+\left(-3\right)\left(-1\right)+\left(2\right)\left(0\right)=3$
• dan seterusnya

---

Matriks balikan (invers)

Invers dari sebuah matriks $A$ adalah matriks $A^{-1}$ dimana $A{A}^{-1}=I$

Contoh:

Jika $A=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5& -4\end{array}\right)$, maka $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -\mathrm{2,5}& -\mathrm{1,5}\end{array}\right)$

karena $A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -\mathrm{2,5}& -\mathrm{1,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Salah satu cara untuk mencari invers dari sebuah matriks $A$ adalah dengan menggunakan rumus berikut ini

$$A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\left(A\right)}{\det \left(A\right)}$$

Jika determinan dari matriks itu adalah 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers dan matriks itu disebut matriks singular.

Cara lain untuk mencari invers dari sebuah matriks adalah dengan menambahkan matriks identitas di sebelah kanan matriks tersebut kemudian menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan untuk menyederhanakan matriks itu sampai ke bentuk Eselon-baris tereduksi.

By Jimmy Sie

Lihat juga: Eliminasi Gauss-Jordan, Sistem Persamaan Linier, Transformasi Linier Geometris