參見：二次函數与一元二次方程式、 因式分解、 一元二次方程式公式

---

給定一個以下形式的一元二次方程式：

$$a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c=0$$

我們可以先將上述形式轉換為以下形式：

$$a<!--\; InvisibleTimes\; -->{(x+p)}^2+q=0$$

其中 $p=\frac{b}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$ 且 $q=c-\frac{b^2}{4<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$ 。

完全平方的概念來自於,如果我們有一個：

$${(x+m)}^2=n$$

的二次方程式，那麼很容易就可以通過在兩側開根號來求解。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{{(x+m)}^2}& =\pm \sqrt{n}\\ x+m& =\pm \sqrt{n}\\ x& =-m\pm \sqrt{n}\end{array}$$

按照以下步驟,透過完全平方法求解一般形式的二次方程式。

---

例題:

1. 求一元二次方程式 $x^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3=0$ 的根

   步驟一：這一步可以略過，因為此方程式中的$a=1$

   步驟二：將常數項移至右邊

   $$x^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->x=-3$$

   步驟三：在等式兩邊加上 ${\left(\frac{4}{2}\right)}^2$ （即加$4$）

   $$\begin{array}{rl}{x}^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4& =-3+4\\ x^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4& =1\end{array}$$

   步驟四：將左邊改寫為完全平方

   $${(x-2)}^2=1$$

   步驟五：對等式兩邊開根號

   $$\begin{array}{rl}\sqrt{{(x-2)}^2}& =\pm \sqrt{1}\\ x-2& =\pm 1\end{array}$$

   步驟六：將常數項從左邊移至右邊，然後求解$x$

   $$\begin{array}{rl}x& =2\pm 1\\ x_1& =2-1=1\\ x_2& =2+1=3\end{array}$$

2. 求一元二次方程式 $x^2-6<!--\; InvisibleTimes\; -->x+9=0$ 的根

   步驟一：這一步可以略過，因為此方程式中的$a=1$

   步驟二：將常數項移至右邊

   $$x^2-6<!--\; InvisibleTimes\; -->x=-9$$

   步驟三：在等式兩邊加上 ${\left(\frac{6}{2}\right)}^2$ (即加$9$)

   $$\begin{array}{rl}{x}^2-6<!--\; InvisibleTimes\; -->x+9& =-9+9\\ x^2-6<!--\; InvisibleTimes\; -->x+9& =0\end{array}$$

   步驟四：將左邊改寫為完全平方

   $${(x-3)}^2=0$$

   步驟五：對等式兩邊開根號

   $$\begin{array}{rl}\sqrt{{(x-3)}^2}& =\pm \sqrt{0}\\ x-3& =0\end{array}$$

   步驟六：將常數項從左邊移至右邊，然後求解$x$

   $$x=3$$

   在這個例子中，我們可以直接從原方程式重寫為一個完全平方式，如步驟四所示,因此可以跳過步驟二和三。

3. 求一元二次方程式 $2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5=0$ 的根

   步驟一：將方程式除以$2$ ，使係數$a$等於$1$

   $$x^2+x+\frac{5}{2}=0$$

   步驟二：將常數項移至右邊

   $$x^2+x=-\frac{5}{2}$$

   步驟三：在等式兩邊加上 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ （即加$\frac{1}{4}$）

   $$\begin{array}{rl}{x}^2+x+\frac{1}{4}& =-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}\\ x^2+x+\frac{1}{4}& =-\frac{9}{4}\end{array}$$

   步驟四：將左邊改寫為完全平方

   $${(x+\frac{1}{2})}^2=-\frac{9}{4}$$

   步驟五：對等式兩邊開根號

   $$\begin{array}{rl}\sqrt{{(x+\frac{1}{2})}^2}& =\pm \sqrt{-\frac{9}{4}}\\ x+\frac{1}{2}& =\pm \sqrt{-\frac{9}{4}}\end{array}$$

   步驟六：將常數項從左邊移至右邊，然後求解$x$

   $$\begin{array}{rl}x& =-\frac{1}{2}\pm \sqrt{-\frac{9}{4}}\\ x_1& =-\frac{1}{2}-\frac{3<!--\; InvisibleTimes\; -->i}{2}\\ x_2& =-\frac{1}{2}+\frac{3<!--\; InvisibleTimes\; -->i}{2}\end{array}$$

   此二次方程式有兩個複數根,這是可以預期的，因為判別式（ $b^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c$ ）為負值。

作者：Jimmy Sie

參見：二次函數与一元二次方程式、 因式分解、 一元二次方程式公式