參見：二次函數与一元二次方程式、 一元二次方程式公式、 完全平方
給定如下形式的二次方程，
我們可以通過先將方程左側轉換為因式形式（因子的乘積）來找到根。
因為如果，
，那麼其中至少一個因數（、
、或
）必須為
。
例題：
-
求一元二次方程式
的根。
我們將左邊項轉換成因式形式：
這意味著
或
為了求解一元二次方程的解（根），我們可以解上述兩個方程：
因此，根是：
-
求一元二次方程式
的根。
我們將左邊項轉換成因式形式：
這意味著
或
因此，根是：
因式分解二次項式的方法/技巧
透過因式分解來求解二次方程式，取決於我們是否能將左邊項的二次式轉換成因式形式。並非所有二次方程式都能被因式分解。以下是一些因式分解二次項式的技巧/方法:
去除公因式
先觀察項式中的項，找出其最大公因式（或最大公因數），然後將其提取出來。這種方法應該優先嘗試。
例題：
-
中的最大公因式為
。
因此該式可因式分解為
-
中的最大公因式為
。
因此該式可因式分解為
括號中的表達式可以使用其他方法進一步分解（見下文）。
完全平方式因式分解
此技巧利用完全平方的二項式展開式：
和
是完全平方。
因此，我們可以進行如下分解：
所以，如果一個二次式可以寫成完全平方的形式，那麼我們就可以利用上述公式進行因式分解。
例題：
-
等於
並且可以分解為
-
等於
並且可以分解為
平方差公式
此技巧利用平方差公式:
所以，如果一個二次式是兩個平方項的差，那麼我們就可以利用該公式進行因式分解。
例題：
-
是一個平方差：
並且可以分解為
-
是一個平方差：
並且可以分解為
分解項
此技術將項（即
）拆分為兩項
使得
且.
通常在時使用此方法。
首先，將二次式
轉換成
然後，將項分組成對
接著，分別將每一組因式分解：
最後，從每一組提取公因式：
例題：
- 分解這個二次式：
首先，我們需要將
拆分為兩項
，使得
並且。
我們需要找到
的因數，使其和為。
換句話說，找出兩個乘積為且和為
的數字。
這兩個數字是和。
所以，
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（拆分項）
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（分組） |
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（分解每組） |
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（從每組中取出公因數） |
- 分解這個二次式：
首先，我們需要將
拆分為兩項
，使得
並且。
我們需要找到
的因數，使其和為。
換句話說，找出兩個乘積為且和為
。
這兩個數字是和。
所以，
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|
（拆分項）
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（分組） |
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（分解每組） |
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|
（從每組中取出公因數） |
試誤法
形式的二次式
可以分解為：
這種方法透過試誤去找出
、
、
、
的值，使得
和
是
的因子，（即
）
而 和
是
的因子（即
）。
此外，
。
透過實例會更容易理解這個方法的運作方式：
- 分解這個二次式：
在這種情況下，
和
的可能值是：
和
。
和
的可能值是：
和
。
我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件
。
由於我們知道 是正的且
也是正的，因此
和
必須都是正的。
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✗
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✓
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- 分解這個二次式：
在這種情況下，
和
的可能值是：
和
或
和
。
和
的可能值是所有的因子
（即
、
、
、
和它們的負數）。
我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件
。
由於我們知道是負的且
是正的，因此
和
必須都是負的。
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✓
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✗
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✗
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- 分解這個二次式：
在這種情況下，
和
的可能值是：
和
或
和
。
和
的可能值是
和
或
和
。
我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件
。
由於我們知道是正的且
是正的，因此
和
必須都是正的。
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如上所示，這種方法可能會耗時且繁瑣，尤其是當涉及非質數且有很多因子的數字時。
作者：Jimmy Sie
參見：二次函數与一元二次方程式、 一元二次方程式公式、 完全平方