參見：二次函數与一元二次方程式、 一元二次方程式公式、 完全平方

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給定如下形式的二次方程，

$$a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c=0$$

我們可以通過先將方程左側轉換為因式形式（因子的乘積）來找到根。

$$f_1\cdot f_2\cdot \dots \cdot f_n=0$$

因為如果， $f_1\cdot f_2\cdot \dots \cdot f_n=0$ ，那麼其中至少一個因數（$f_1$、 $f_2$、或 $f_n$）必須為 $0$。

例題：

1. 求一元二次方程式 $x^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3=0$ 的根。

   我們將左邊項轉換成因式形式：

   $$(x-3)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-1)=0$$

   這意味著 $(x-3)=0$或 $(x-1)=0$

   為了求解一元二次方程的解（根），我們可以解上述兩個方程： $$\begin{array}{rl}x-3=& 0\\ x=& 3\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}x-1=& 0\\ x=& 1\end{array}$$

   因此，根是： $$x_1=3$$ $$x_2=1$$

2. 求一元二次方程式 $x^2+5<!--\; InvisibleTimes\; -->x=0$ 的根。

   我們將左邊項轉換成因式形式：

   $$x<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+5)=0$$

   這意味著 $x=0$或 $(x+5)=0$

   因此，根是： $$x_1=0$$ $$x_2=-5$$

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因式分解二次項式的方法/技巧

透過因式分解來求解二次方程式，取決於我們是否能將左邊項的二次式轉換成因式形式。並非所有二次方程式都能被因式分解。以下是一些因式分解二次項式的技巧/方法:

• 去除公因式
• 完全平方式因式分解
• 平方差公式
• 分解$x$項
• 試誤法

去除公因式

先觀察項式中的項，找出其最大公因式（或最大公因數），然後將其提取出來。這種方法應該優先嘗試。

例題：

• $2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+5<!--\; InvisibleTimes\; -->x$ 中的最大公因式為 $x$。
  因此該式可因式分解為 $x<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5)$
• $3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+9<!--\; InvisibleTimes\; -->x-12$中的最大公因式為 $3$。
  因此該式可因式分解為 $3<!--\; InvisibleTimes\; -->(x^2+3<!--\; InvisibleTimes\; -->x-4)$
  括號中的表達式可以使用其他方法進一步分解（見下文）。
  $3<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+4)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-1)$

完全平方式因式分解

此技巧利用完全平方的二項式展開式： $${(a+b)}^2=a^2+2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->b+b^2$$ $${(a-b)}^2=a^2-2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->b+b^2$$

${(a+b)}^2$ 和 ${(a-b)}^2$ 是完全平方。

因此，我們可以進行如下分解： $$x^2+2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->x+a^2={(x+a)}^2$$ $$x^2-2<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->x+a^2={(x-a)}^2$$

所以，如果一個二次式可以寫成完全平方的形式，那麼我們就可以利用上述公式進行因式分解。

例題：

• $x^2+8<!--\; InvisibleTimes\; -->x+16$
  等於 $x^2+2\cdot 4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4^2$
  並且可以分解為 ${(x+4)}^2$
• $25-10<!--\; InvisibleTimes\; -->x+x^2$
  等於 $5^2-2\cdot 5<!--\; InvisibleTimes\; -->x+x^2$
  並且可以分解為 ${(5-x)}^2$

平方差公式

此技巧利用平方差公式: $$a^2-b^2=(a+b)<!--\; InvisibleTimes\; -->(a-b)$$

所以，如果一個二次式是兩個平方項的差，那麼我們就可以利用該公式進行因式分解。

例題：

• $25-x^2$
  是一個平方差： $5^2-x^2$
  並且可以分解為
  $(5+x)<!--\; InvisibleTimes\; -->(5-x)$
• $4<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2-9$
  是一個平方差： ${(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x)}^2-3^2$
  並且可以分解為
  $(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3)<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x-3)$

分解$x$項

此技術將$x$項（即 $b<!--\; InvisibleTimes\; -->x$）拆分為兩項 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->x+q<!--\; InvisibleTimes\; -->x$ 使得$p<!--\; InvisibleTimes\; -->q=a<!--\; InvisibleTimes\; -->c$ 且$p+q=b$. 通常在$a\ne 1$時使用此方法。

首先，將二次式 $$a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$$ 轉換成 $$a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+p<!--\; InvisibleTimes\; -->x+q<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$$

然後，將項分組成對 $$(a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+p<!--\; InvisibleTimes\; -->x)+(q<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c)$$

接著，分別將每一組因式分解： $$k<!--\; InvisibleTimes\; -->x<!--\; InvisibleTimes\; -->(m<!--\; InvisibleTimes\; -->x+n)+l<!--\; InvisibleTimes\; -->(m<!--\; InvisibleTimes\; -->x+n)$$

最後，從每一組提取公因式： $$(k<!--\; InvisibleTimes\; -->x+l)<!--\; InvisibleTimes\; -->(m<!--\; InvisibleTimes\; -->x+n)$$

例題：

• 分解這個二次式： $3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^{\mathrm{}}+13<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4$
  首先，我們需要將 $13<!--\; InvisibleTimes\; -->x$ 拆分為兩項 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->x+q<!--\; InvisibleTimes\; -->x$ ，使得$p<!--\; InvisibleTimes\; -->q=3\times 4=12$ 並且$p+q=13$。
  我們需要找到 $12$ 的因數，使其和為$13$。 換句話說，找出兩個乘積為$12$且和為 $13$的數字。
  這兩個數字是$12$和$1$。
  所以，
  $3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+13<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4$
  

  $=3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+12<!--\; InvisibleTimes\; -->x+1<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4$	（拆分$x$項）
  $=(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+12<!--\; InvisibleTimes\; -->x)+(1<!--\; InvisibleTimes\; -->x+4)$	（分組）
  $=3<!--\; InvisibleTimes\; -->x<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+4)+1<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+4)$	（分解每組）
  $=(x+4)<!--\; InvisibleTimes\; -->(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x+1)$	（從每組中取出公因數）

• 分解這個二次式： $2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^{\mathrm{}}+11<!--\; InvisibleTimes\; -->x-21$
  首先，我們需要將 $11<!--\; InvisibleTimes\; -->x$ 拆分為兩項 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->x+q<!--\; InvisibleTimes\; -->x$ ，使得$p<!--\; InvisibleTimes\; -->q=2\times -21=-42$ 並且$p+q=11$。
  我們需要找到$-42$ 的因數，使其和為$11$。 換句話說，找出兩個乘積為$-42$且和為 $11$。
  這兩個數字是$14$和$-3$。
  所以，
  $2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+11<!--\; InvisibleTimes\; -->x-21$
  

  $=2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+14<!--\; InvisibleTimes\; -->x-3<!--\; InvisibleTimes\; -->x-21$	（拆分$x$項）
  $=(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+14<!--\; InvisibleTimes\; -->x)-(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x+21)$	（分組）
  $=2<!--\; InvisibleTimes\; -->x<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+7)-3<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+7)$	（分解每組）
  $=(x+7)<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x-3)$	（從每組中取出公因數）

試誤法

形式的二次式 $$a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c$$ 可以分解為： $$(p<!--\; InvisibleTimes\; -->x+q)<!--\; InvisibleTimes\; -->(r<!--\; InvisibleTimes\; -->x+s)$$

這種方法透過試誤去找出 $p$、 $q$、 $r$、 $s$的值，使得 $p$和 $r$ 是 $a$的因子，（即 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->r=a$） 而 $q$ 和 $s$ 是 $c$的因子（即 $q<!--\; InvisibleTimes\; -->s=c$）。 此外， $p<!--\; InvisibleTimes\; -->s+q<!--\; InvisibleTimes\; -->r=b$。

透過實例會更容易理解這個方法的運作方式：

• 分解這個二次式： $2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^{\mathrm{}}+7<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5$
  在這種情況下， $p$ 和 $r$ 的可能值是： $2$ 和 $1$。
  $q$ 和 $s$ 的可能值是： $1$ 和 $5$。
  我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->s+q<!--\; InvisibleTimes\; -->r=b$。
  由於我們知道$b$ 是正的且 $c$ 也是正的，因此 $q$ 和 $s$ 必須都是正的。

  $(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+5)=2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+11<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5$	✗
  $(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+1)=2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+7<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5$	✓

• 分解這個二次式： $3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^{\mathrm{}}-17<!--\; InvisibleTimes\; -->x+10$
  在這種情況下， $p$ 和 $r$ 的可能值是： $3$ 和 $1$ 或 $-3$ 和 $-1$。
  $q$ 和 $s$ 的可能值是所有的因子 $10$（即 $1$、 $2$、 $5$、 $10$ 和它們的負數）。
  我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->s+q<!--\; InvisibleTimes\; -->r=b$。
  由於我們知道$b$是負的且 $c$ 是正的，因此 $q$ 和 $s$ 必須都是負的。

  $(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x-1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-10)=3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2-31<!--\; InvisibleTimes\; -->x+10$	✗
  $(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x-2)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-5)=3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2-17<!--\; InvisibleTimes\; -->x+10$	✓
  $(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x-5)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-2)=3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2-11<!--\; InvisibleTimes\; -->x+10$	✗
  $(3<!--\; InvisibleTimes\; -->x-10)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x-1)=3<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2-13<!--\; InvisibleTimes\; -->x+10$	✗

• 分解這個二次式： $8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^{\mathrm{}}+34<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$
  在這種情況下， $p$ 和 $r$ 的可能值是： $8$ 和 $1$ 或 $4$ 和 $2$。
  $q$ 和 $s$ 的可能值是 $3$ 和 $5$ 或 $1$ 和 $15$。
  我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件 $p<!--\; InvisibleTimes\; -->s+q<!--\; InvisibleTimes\; -->r=b$。
  由於我們知道$b$是正的且 $c$是正的，因此 $q$ 和 $s$ 必須都是正的。

  $(8<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+5)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+43<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗	$(4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3)<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+26<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗
  $(8<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+3)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+29<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗	$(4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5)<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+22<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗
  $(8<!--\; InvisibleTimes\; -->x+1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+15)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+121<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗	$(4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+1)<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+62<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗
  $(8<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15)<!--\; InvisibleTimes\; -->(x+1)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+23<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✗	$(4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15)<!--\; InvisibleTimes\; -->(2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+1)=8<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+34<!--\; InvisibleTimes\; -->x+15$	✓

如上所示，這種方法可能會耗時且繁瑣，尤其是當涉及非質數且有很多因子的數字時。

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作者：Jimmy Sie

參見：二次函數与一元二次方程式、 一元二次方程式公式、 完全平方