參見:二次函數与一元二次方程式一元二次方程式公式完全平方


給定如下形式的二次方程,

ax2 + bx + c = 0

我們可以通過先將方程左側轉換為因式形式(因子的乘積)來找到根。

f1f2 fn = 0

因為如果, f1f2 fn = 0 ,那麼其中至少一個因數(f1f2、或 fn)必須為 0

例題:

  1. 求一元二次方程式 x2 4x + 3 = 0 的根。

    我們將左邊項轉換成因式形式:

    (x-3) (x-1) = 0

    這意味著 (x-3) = 0 (x-1) = 0

    為了求解一元二次方程的解(根),我們可以解上述兩個方程: x-3= 0 x= 3 x-1= 0 x= 1

    因此,根是: x1=3 x2=1

  2. 求一元二次方程式 x2 + 5x = 0 的根。

    我們將左邊項轉換成因式形式:

    x (x+5) = 0

    這意味著 x = 0 (x+5) = 0

    因此,根是: x1=0 x2=-5


因式分解二次項式的方法/技巧

透過因式分解來求解二次方程式,取決於我們是否能將左邊項的二次式轉換成因式形式。並非所有二次方程式都能被因式分解。以下是一些因式分解二次項式的技巧/方法:


去除公因式

先觀察項式中的項,找出其最大公因式(或最大公因數),然後將其提取出來。這種方法應該優先嘗試。

例題:

  • 2x2 + 5x 中的最大公因式為 x
    因此該式可因式分解為 x (2x+5)
  • 3x2 + 9x - 12 中的最大公因式為 3
    因此該式可因式分解為 3 ( x2 + 3x - 4 )
    括號中的表達式可以使用其他方法進一步分解(見下文)。
    3 (x+4) (x-1)
完全平方式因式分解

此技巧利用完全平方的二項式展開式: (a+b) 2 = a2+ 2ab+ b2 (a-b) 2 = a2- 2ab+ b2

(a+b) 2 (a-b) 2 是完全平方。

因此,我們可以進行如下分解: x2+ 2ax+ a2 = (x+a) 2 x2- 2ax+ a2 = (x-a) 2

所以,如果一個二次式可以寫成完全平方的形式,那麼我們就可以利用上述公式進行因式分解。

例題:

  • x2+ 8x+ 16
    等於 x2+ 24x+ 42
    並且可以分解為 (x+4) 2
  • 25- 10x+ x2
    等於 52- 25x+ x2
    並且可以分解為 (5-x) 2
平方差公式

此技巧利用平方差公式: a2-b2 = (a+b) (a-b)

所以,如果一個二次式是兩個平方項的差,那麼我們就可以利用該公式進行因式分解。

例題:

  • 25-x2
    是一個平方差: 52-x2
    並且可以分解為
    (5+x) (5-x)
  • 4x2 - 9
    是一個平方差: (2x) 2 - 32
    並且可以分解為
    (2x+3) (2x-3)
分解x

此技術將x項(即 bx)拆分為兩項 px+qx 使得pq=acp+q=b. 通常在a1時使用此方法。

首先,將二次式 ax2 + bx + c 轉換成 ax2 + px+qx + c

然後,將項分組成對 ( ax2 + px ) + ( qx + c )

接著,分別將每一組因式分解: kx ( mx + n ) + l ( mx + n )

最後,從每一組提取公因式: ( kx + l ) ( mx + n )

例題:

  • 分解這個二次式: 3x + 13x + 4
    首先,我們需要將 13x 拆分為兩項 px+qx ,使得pq=3×4=12 並且p+q=13
    我們需要找到 12 的因數,使其和為13。 換句話說,找出兩個乘積為12且和為 13的數字。
    這兩個數字是121
    所以,
    3x2 + 13x + 4
    = 3x2 + 12x + 1x + 4 (拆分x項)
    = ( 3x2 + 12x ) + ( 1x + 4 ) (分組)
    = 3x ( x + 4 ) + 1 ( x + 4 ) (分解每組)
    = ( x + 4 ) ( 3x + 1 ) (從每組中取出公因數)
  • 分解這個二次式: 2x + 11x - 21
    首先,我們需要將 11x 拆分為兩項 px+qx ,使得pq=2×-21=-42 並且p+q=11
    我們需要找到-42 的因數,使其和為11。 換句話說,找出兩個乘積為-42且和為 11
    這兩個數字是14-3
    所以,
    2x2 + 11x - 21
    = 2x2 + 14x - 3x - 21 (拆分x項)
    = ( 2x2 + 14x ) - ( 3x + 21 ) (分組)
    = 2x ( x + 7 ) - 3 ( x + 7 ) (分解每組)
    = ( x + 7 ) ( 2x - 3 ) (從每組中取出公因數)
試誤法

形式的二次式 ax2 + bx + c 可以分解為: ( px+q ) ( rx+s )

這種方法透過試誤去找出 pqrs的值,使得 pra的因子,(即 pr=a) 而 qsc的因子(即 qs=c)。 此外, ps + qr =b

透過實例會更容易理解這個方法的運作方式:

  • 分解這個二次式: 2x + 7x + 5
    在這種情況下, pr 的可能值是: 21
    qs 的可能值是: 15
    我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件 ps + qr =b
    由於我們知道b 是正的且 c 也是正的,因此 qs 必須都是正的。
    ( 2x+1 ) ( x+5 ) = 2x2 + 11x + 5
    ( 2x+5 ) ( x+1 ) = 2x2 + 7x + 5
  • 分解這個二次式: 3x - 17x + 10
    在這種情況下, pr 的可能值是: 31-3-1
    qs 的可能值是所有的因子 10(即 12510 和它們的負數)。
    我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件 ps + qr =b
    由於我們知道b是負的且 c 是正的,因此 qs 必須都是負的。
    ( 3x-1 ) ( x-10 ) = 3x2 - 31x + 10
    ( 3x-2 ) ( x-5 ) = 3x2 - 17x + 10
    ( 3x-5 ) ( x-2 ) = 3x2 - 11x + 10
    ( 3x-10 ) ( x-1 ) = 3x2 - 13x + 10
  • 分解這個二次式: 8x + 34x + 15
    在這種情況下, pr 的可能值是: 8142
    qs 的可能值是 35115
    我們可以列出所有這些可能的值並檢查哪一個滿足條件 ps + qr =b
    由於我們知道b是正的且 c是正的,因此 qs 必須都是正的。
    ( 8x+3 ) ( x+5 ) = 8x2 + 43x + 15 ( 4x+3 ) ( 2x+5 ) = 8x2 + 26x + 15
    ( 8x+5 ) ( x+3 ) = 8x2 + 29x + 15 ( 4x+5 ) ( 2x+3 ) = 8x2 + 22x + 15
    ( 8x+1 ) ( x+15 ) = 8x2 + 121x + 15 ( 4x+1 ) ( 2x+15 ) = 8x2 + 62x + 15
    ( 8x+15 ) ( x+1 ) = 8x2 + 23x + 15 ( 4x+15 ) ( 2x+1 ) = 8x2 + 34x + 15

如上所示,這種方法可能會耗時且繁瑣,尤其是當涉及非質數且有很多因子的數字時。


作者:Jimmy Sie

參見:二次函數与一元二次方程式一元二次方程式公式完全平方