參見：因式分解、 二次函數与一元二次方程式、 完全平方

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給定以下形式的一元二次方程式：

$$a<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+b<!--\; InvisibleTimes\; -->x+c=0$$

可以使用下列公式求出根：

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c}}{2<!--\; InvisibleTimes\; -->a}$$

使用上述公式可能是解決或求出一元二次方程式根的最簡單和直接的方法。

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例子：

1. 求一元二次方程式的根：

   $$x^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->x+3=0$$

   我們將係數$a$，$b$和$c$的值代入公式中求$x$。

   在這種情況下，$a=1$，$b=-4$，$c=3$。所以

   $$\begin{array}{rl}x& =\frac{-(-4)\pm \sqrt{{(-4)}^2-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}\\ x& =\frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}\\ x& =\frac{4\pm \sqrt{4}}{2}\\ x& =\frac{4\pm 2}{2}\\ x_1& =\frac{4-2}{2}=1\\ x_2& =\frac{4+2}{2}=3\end{array}$$

2. 求一元二次方程式的根：

   $$x^2-6<!--\; InvisibleTimes\; -->x+9=0$$

   與第一個例子相似，我們將係數$a$，$b$和$c$的值代入公式中求$x$。

   在這種情況下,$a=1$，$b=-6$，$c=9$。所以

   $$\begin{array}{rl}x& =\frac{-(-6)\pm \sqrt{{(-6)}^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}\\ x& =\frac{6\pm \sqrt{36-36}}{2}\\ x& =\frac{6\pm \sqrt{0}}{2}\\ x& =\frac{6\pm 0}{2}\\ x_{1\text{,}2}& =\frac{6}{2}\\ x_{1\text{,}2}& =3\end{array}$$

   這個一元二次方程只有一個根，因為判別式（ $b^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c$ ）等於$0$。

3. 求一元二次方程式的根：

   $$2<!--\; InvisibleTimes\; -->x^2+2<!--\; InvisibleTimes\; -->x+5=0$$

   與上面的例子相似，我們將係數$a$，$b$和$c$的值代入公式中求$x$。

   在這種情況下，$a=2$，$b=2$，$c=5$。所以

   $$\begin{array}{rl}x& =\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot 5}}{2\cdot 2}\\ x& =\frac{-2\pm \sqrt{4-40}}{4}\\ x& =\frac{-2\pm \sqrt{-36}}{4}\\ x& =\frac{-2\pm 6<!--\; InvisibleTimes\; -->\sqrt{-1}}{4}\\ x& =\frac{-2\pm 6<!--\; InvisibleTimes\; -->i}{4}\\ x& =\frac{-1\pm 3<!--\; InvisibleTimes\; -->i}{2}\\ x_1& =\frac{-1-3<!--\; InvisibleTimes\; -->i}{2}\\ x_2& =\frac{-1+3<!--\; InvisibleTimes\; -->i}{2}\end{array}$$

   這個二次方程有兩個複數根,因為判別式（ $b^2-4<!--\; InvisibleTimes\; -->a<!--\; InvisibleTimes\; -->c$ ）是負數。

作者：Jimmy Sie

參見：因式分解、 二次函數与一元二次方程式、 完全平方