Lihat juga: bilangan, permutasi dan kombinasi

---

Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian $A$ dan $B$ sebagai berikut:

$$\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)=\frac{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)}$$

atau

$$\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)=\frac{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->\bar{A})<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(\bar{A})}$$

Contoh aplikasi dari Teorema Bayes

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.

Jika sembarang orang dari negara itu mengambil tes dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?

Secara sepintas, nampaknya bahwa ada peluang yang besar bahwa orang itu memang benar-benar menderita penyakit langka itu. Karena kita tahu bahwa hasil tes klinik yang cukup akurat (97%) untuk kasus positif. Tetapi apakah benar demikian? Marilah kita lihat perhitungan matematikanya.

Marilah kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:

• $B$ = Kejadian tes memberikan hasil positif
• $\bar{B}$ = Kejadian tes memberikan hasil negatif.
• $A$ = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
• $\bar{A}$ = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langka itu.

Kita ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:

• $\mathbb{P}(A)=2\%$
• $\mathbb{P}(\bar{A})=98\%$
• $\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)=97\%$
• $\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->\bar{A})=9\%$

Dengan menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:

Misalnya seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari $A$, dimana $B$ atau $\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)$.

Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa $\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)$ adalah peluang dari positif yang benar dibagi dengan peluang tes positif (benar maupun salah), yaitu

$$\frac{\mathrm{1,94}\%}{\mathrm{1,94}\%+\mathrm{8,82}\%}=\mathrm{18,03}\%$$

Kita bisa juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:

$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(A\mid <!--\; \mid \; -->B)& =\frac{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->A)<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B\mid <!--\; \mid \; -->\bar{A})<!--\; InvisibleTimes\; -->\mathbb{P}(\bar{A})}\\ & =\frac{97\%\times 2\%}{(97\%\times 2\%)+(9\%\times 98\%)}\\ & =\frac{\mathrm{1,94}\%}{\mathrm{1,94}\%+\mathrm{8,82}\%}\\ & =\frac{\mathrm{1,94}\%}{\mathrm{10,76}\%}\\ & =\mathrm{18,03}\%\end{array}$$

Hasil perhitungan ini sangat berbeda dengan intuisi kita di atas. Peluang bahwa orang yang mendapat hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak sebesar yang kita bayangkan. Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-benar menderita penyakit itu.

Mengapakah demikian?

Ketika mengira-ngira peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi negara itu, hanya 2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu. Jadi, walaupun hasil tes adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah sebesar yang kita bayangkan.

Kita bisa juga meninjau situasi di atas sebagai berikut. Misalnya populasi negara tersebut adalah 1000 orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%). 19 orang dari antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang benar). Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan mendapat hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).

Jadi, 1000 orang di negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:

• 19 orang mendapat hasil tes positif yang benar
• 1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah
• 88 orang mendapat hasil tes positif yang salah
• 892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar

Bisa kita lihat dari informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan mendapatkan hasil tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita penyakit? Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.

By Jimmy Sie

Lihat juga: bilangan, permutasi dan kombinasi