Lihat juga: fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat, rumus persamaan kuadrat, melengkapkan kuadrat, FPB dan KPK, bilangan

---

Faktor dari sebuah bilangan adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan tersebut. Misalnya, faktor-faktor dari $10$ adalah $1$, $2$, $5$, dan $10$ serta negatifnya.

Pemfaktoran atau faktorisasi adalah proses penulisan ekpresi matematika dalam bentuk perkalian faktor.

Misalnya:

$10$ bisa ditulis dalam bentuk perkalian faktor: $2\times 5$ atau $-2\times -5$

$2x+6$ bisa difaktorkan menjadi $2(x+3)$

Sebuah persamaan kuadrat dalam bentuk

$$a{x}^2+bx+c=0$$

dapat kita cari akar-akarnya dengan cara pemfaktoran (faktorisasi) ekspresi di sebelah kiri tanda sama dengan menjadi:

$$f_1\cdot f_2\cdot \dots \cdot f_n=0$$

Ini karena, jika $f_1\cdot f_2\cdot \dots \cdot f_n=0$ , maka salah satu faktor ($f_1$, $f_2$, atau $f_n$) pasti adalah $0$.

Contoh:

1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat

   $$x^2-4x+3=0$$

   Kita ubah dulu ekspresi di sebelah kiri menjadi bentuk faktor (kita faktorkan dulu ekspresi di sebelah kiri):

   $$(x-3)(x-1)=0$$

   Ini berarti bahwa $(x-3)=0$ atau $(x-1)=0$

   Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, kita selesaikan dua persamaan di atas: $$\begin{array}{rl}x-3=& 0\\ x=& 3\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}x-1=& 0\\ x=& 1\end{array}$$

   Sehingga, akar-akarnya adalah: $$x_1=3$$ $$x_2=1$$

2. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat

   $$x^2+5x=0$$

   Kita ubah dulu ekspresi di sebelah kiri menjadi bentuk faktor

   $$x(x+5)=0$$

   Ini berarti bahwa $x=0$ atau $(x+5)=0$

   Sehingga akar-akarnya adalah: $$x_1=0$$ $$x_2=-5$$

---

Cara-cara atau teknik/metode untuk memfaktorkan ekspresi kuadrat

Mencari solusi persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran tergantung dari apakah kita bisa mengubah ekspresi kuadrat yang di sebelah kiri menjadi bentuk perkalian faktor. Tidak semua persamaan kuadrat bisa difaktorkan. Berikut ini adalah beberapa teknik atau metode untuk memfaktorkan ekspresi kuadrat.

• Menghilangkan faktor yang sama
• Faktorisasi kuadrat sempurna
• Perbedaan dua kuadrat
• Pemisahan suku $x$
• Coba-coba

Menghilangkan faktor yang sama

Kita lihat suku-suku dari ekspresi kuadrat dan kita keluarkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari suku-suku tersebut. Metode ini adalah teknik pertama yang harus kita gunakan sebelum menerapkan teknik-teknik yang lain.

Contoh:

• $2x^2+5x$
  FPB dari suku-suku ekspresi di atas adalah $x$.
  Jadi ekspresi di atas bisa difaktorkan menjadi
  $x(2x+5)$
• $3x^2+9x-12$
  FPB dari suku-suku ekspresi di atas adalah $3$.
  Jadi ekspresi di atas bisa difaktorkan menjadi
  $3(x^2+3x-4)$
  Ekspresi di dalam kurung kemudian bisa difaktorkan lebih lanjut dengan cara-cara atau metode-metode yang lain. (lihat di bawah)
  $3(x+4)(x-1)$

Faktorisasi kuadrat sempurna

Teknik ini menggunakan ekspansi (pengembangan) eksponen binomial dari bentuk kuadrat sempurna: $${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$$ $${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$$

${(a+b)}^2$ dan ${(a-b)}^2$ adalah kuadrat sempurna.

Jadi, kita bisa mendapatkan pemfaktoran seperti berikut:: $$x^2+2ax+a^2={(x+a)}^2$$ $$x^2-2ax+a^2={(x-a)}^2$$

Contoh:

• $x^2+8x+16$
  adalah sama dengan $x^2+2\cdot 4x+4^2$
  dan bisa difaktorkan menjadi ${(x+4)}^2$
• $25-10x+x^2$
  adalah sama dengan $5^2-2\cdot 5x+x^2$
  dan bisa difaktorkan menjadi ${(5-x)}^2$

Perbedaan dua kuadrat

Teknik ini menggunakan fakta berikut: $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Jadi, jika kita memiliki ekspresi kuadrat dalam bentuk perbedaan/selisih dari dua kuadrat, kita bisa memfaktorkannya seperti di atas.

Contoh:

• $25-x^2$
  adalah perbedaan/selisih dari dua kuadrat: $5^2-x^2$
  dan bisa difaktorkan menjadi
  $(5+x)(5-x)$
• $4x^2-9$
  adalah perbedaan/selisih dari dua kuadrat: ${(2x)}^2-3^2$
  dan bisa difaktorkan menjadi
  $(2x+3)(2x-3)$

Pemisahan suku $x$

Metode ini memisahkan suku $x$ (yaitu $bx$) menjadi dua suku $px+qx$ sedemikian rupa sehingga $pq=ac$ dan $p+q=b$. Teknik ini sering digunakan jika $a\ne 1$.

Pertama-tama, kita ubah ekspresi kuadrat dalam bentuk $$a{x}^2+bx+c$$ menjadi: $$a{x}^2+px+qx+c$$

Lalu kita pisahkan suku-suku menjadi dua grup (masing-masing grup sepasang suku): $$(a{x}^2+px)+(qx+c)$$

Selanjutnya, kita faktorkan masing-masing grup, sehingga kita mendapat bentuk seperti berikut: $$kx(mx+n)+l(mx+n)$$

Dan akhirnya, kita keluarkan faktor yang sama (faktor persekutuan) dari tiap grup, sehingga bentuk akhir menjadi seperti berikut: $$(kx+l)(mx+n)$$

Contoh:

• Faktorkan ekspresi kuadrat: $3x^{\mathrm{}}+13x+4$
  Pertama, kita pisahkan $13x$ menjadi dua suku $px+qx$ sedemikian rupa sehingga $pq=3\times 4=12$ dan $p+q=13$.
  Kita perlu mencari faktor-faktor dari $12$ yang jumlahnya $13$. Dengan kata lain, dua bilangan yang hasil perkaliannya adalah $12$ dan hasil penjumlahannya adalah $13$.
  Dua bilangan ini adalah $12$ dan $1$.
  Sehingga,
  $3x^2+13x+4$
  

  $=3x^2+12x+1x+4$	(pisahkan suku $x$)
  $=(3x^2+12x)+(1x+4)$	(pisahkan pasangan suku menjadi dua grup)
  $=3x(x+4)+1(x+4)$	(faktorkan tiap grup)
  $=(x+4)(3x+1)$	(keluarkan faktor persekutuan dari tiap grup)

• Faktorkan ekspresi kuadrat: $2x^{\mathrm{}}+11x-21$
  Pertama, kita pisahkan $11x$ menjadi dua suku $px+qx$ sedemikian rupa sehingga $pq=2\times -21=-42$ dan $p+q=11$.
  Kita perlu mencari faktor-faktor dari $-42$ yang jumlahnya $11$. Dengan kata lain, dua bilangan yang hasil perkaliannya adalah $-42$ dan hasil penjumlahannya adalah $11$.
  Dua bilangan ini adalah $14$ dan $-3$.
  Sehingga,
  $2x^2+11x-21$
  

  $=2x^2+14x-3x-21$	(pisahkan suku $x$)
  $=(2x^2+14x)-(3x+21)$	(pisahkan pasangan suku menjadi dua grup)
  $=2x(x+7)-3(x+7)$	(faktorkan tiap grup)
  $=(x+7)(2x-3)$	(keluarkan faktor persekutuan dari tiap grup)

Coba-coba

Ekspresi kuadrat dalam bentuk $$a{x}^2+bx+c$$ dapat difaktorkan menjadi: $$(px+q)(rx+s)$$

Metode ini menggunakan cara coba-coba untuk mencari nilai $p$, $q$, $r$, dan $s$, sedemikian rupa sehingga $p$ dan $r$ adalah faktor-faktor dari $a$, ($pr=a$) sedangkan $q$ dan $s$ adalah faktor-faktor dari $c$, ($qs=c$). Selain itu, $ps+qr=b$.

Mari kita lihat bagaimana cara menggunakan metode coba-coba ini melalui beberapa contoh di bawah ini:

• Faktorkan ekspresi kuadrat: $2x^{\mathrm{}}+7x+5$
  Nilai-nilai yang mungkin untuk $p$ dan $r$ adalah: $2$ dan $1$.
  Nilai-nilai yang mungkin untuk $q$ dan $s$ adalah: $1$ dan $5$.
  Kita bisa coba satu per satu untuk nilai-nilai di atas dan mengecek mana yang memenuhi syarat $ps+qr=b$.
  Karena kita tahu bahwa $b$ adalah positif dan $c$ juga positif, maka $q$ dan $s$ pasti keduanya positif.

  $(2x+1)(x+5)=2x^2+11x+5$	✗
  $(2x+5)(x+1)=2x^2+7x+5$	✓

• Faktorkan ekspresi kuadrat: $3x^{\mathrm{}}-17x+10$
  Nilai-nilai yang mungkin untuk $p$ dan $r$ adalah: $3$ dan $1$ atau $-3$ dan $-1$.
  Nilai-nilai yang mungkin untuk $q$ dan $s$ adalah semua faktor dari $10$ (yaitu, $1$, $2$, $5$, $10$ dan negatifnya).
  Kita bisa coba satu per satu untuk nilai-nilai di atas dan mengecek mana yang memenuhi syarat $ps+qr=b$.
  Karena kita tahu bahwa $b$ adalah negatif dan $c$ adalah positif, maka $q$ dan $s$ pasti keduanya negatif.

  $(3x-1)(x-10)=3x^2-31x+10$	✗
  $(3x-2)(x-5)=3x^2-17x+10$	✓
  $(3x-5)(x-2)=3x^2-11x+10$	✗
  $(3x-10)(x-1)=3x^2-13x+10$	✗

• Faktorkan ekspresi kuadrat: $8x^{\mathrm{}}+34x+15$
  Nilai-nilai yang mungkin untuk $p$ dan $r$ adalah: $8$ dan $1$ atau $4$ dan $2$.
  Nilai-nilai yang mungkin untuk $q$ dan $s$ adalah $3$ dan $5$ atau $1$ dan $15$.
  Kita bisa coba satu per satu untuk nilai-nilai di atas dan mengecek mana yang memenuhi syarat $ps+qr=b$.
  Karena kita tahu bahwa $b$ adalah positif dan $c$ juga positif, maka $q$ dan $s$ pasti keduanya positif.

  $(8x+3)(x+5)=8x^2+43x+15$	✗	$(4x+3)(2x+5)=8x^2+26x+15$	✗
  $(8x+5)(x+3)=8x^2+29x+15$	✗	$(4x+5)(2x+3)=8x^2+22x+15$	✗
  $(8x+1)(x+15)=8x^2+121x+15$	✗	$(4x+1)(2x+15)=8x^2+62x+15$	✗
  $(8x+15)(x+1)=8x^2+23x+15$	✗	$(4x+15)(2x+1)=8x^2+34x+15$	✓

Seperti kita lihat di atas, metode atau cara coba-coba ini bisa memakan waktu yang cukup lama, terutama jika koefisien-koefisian eskpresi kuadratnya bukan bilangan prima dan mempunyai banyak faktor.

Ditulis oleh: Jimmy Sie

Lihat juga: fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat, rumus persamaan kuadrat, melengkapkan kuadrat, FPB dan KPK, bilangan